Der Kopfschaden als Berechnungsmodell für Krankenkassen

Im Folgenden soll kurz dieser mathematische Ansatz dargestellt werden, da an diesem verdeutlicht werden kann, dass eine Abschätzung der Kosten sehr stark von den ausgewählten Merkmalen, die einem stochastischen Prozess unterzogen werden, abhängt. Die ausführliche mathematische Herleitung findet sich in dem Buch „Aktuarielle Methoden der deutschen Privaten Krankenversicherung von Hartmut Milbrodt. Auf eine genaue Beweisführung wird im Folgenden verzichtet.

Es seien nun die Menge KB⊂[0,∞) der Kalenderbereich und t∈KB die Kalenderzeit. Die Personen werden nun nach Altersstufen gegliedert. Hierbei gilt nun: x ∈ AB := {xmin,...,xmax} ⊂ N, wobei mit xmin das Alter, mit dem die versicherte Person in die Versicherung eintritt und xmax = ω das Schlussalter der Sterbetafel, derzeit 103 Jahre, bezeichnet. Sei nun I(t) die Gesamtheit der Versicherten, die sich durch Zugang (Eingang in die Versicherung) und Abgang (Tod oder Austritt) mit fortschreitender Kalenderzeit t ∈KB entwickelt, dann ist die Vereinigung I := UI(t) die Menge der Personen, die zeitweise zu dieser Gesamtheit gehören und demzufolge auch Kosten verursachen können. Sei xi(t) das versicherungstechnische Alter der Person i∈I(t) in der Periode t∈KB, dann bezeichnet  Ix(t):={i∈I(t)xi(t)=x},x∈AB,t∈KB den Bestand der x-Jährigen im Jahr t. Jede Person i aus der Menge I verursacht nun Kosten in den jeweiligen Beobachtungsperioden. Diese Kosten können durch einen stochastischen Prozess (si(t))t∈KB modelliert werden. Hierbei sollen die Zufallsvariablen si(t), i ∈ Ix (t)∀(x,t) ∈ AB × KB sollen jeweils identisch verteilt sein. Dies bedeutet, dass homogene Risikogruppen gebildet werden, für die man gleiche anfallende Kosten erwartet. Man versucht hierbei Risikomerkmale zu erfassen, die sich in objektive (Alter, Geschlecht, Beruf, Wohnort, Vorerkrankungen, etc.) und deutlich schwerer erfassbare subjektive Merkmale (Lebensweise: Ernährung, Sport, Konsum, Alkohol, Rauchen) einteilen lassen. Auch hier wird man bezüglich der Segmentierung Kompromisse eingehen müssen und sich in erster Linie auf objektive Risikomerkmale stützen. Allerdings ist eine gesicherte empirische Zuordnung von Ausgabensteigerungen anhand der oben aufgeführten Risikomerkmale nicht möglich. Ältere Menschen können durch die Fortschritte der diagnostischen und therapeutischen Medizin weder behindert noch chronisch krank oder pflegebedürftig sein, aber dennoch durch Inanspruchnahme des Gesundheitssystems hohe Kosten verursachen. Man wird in der Praxis nun gemittelte Bestände an Versicherten verwenden, da durch Zu- und Abgänge innerhalb eines t ∈ KB der entsprechende Bestand I(t) beeinflusst wird. Außerdem wird man eine Zuordnung von Krankheiten und die dadurch verursachten Kosten zu definierten Zeitperioden vornehmen. Seien nun (x,t) ∈ AB × KB,i ∈ Ix (t) ≠ ∅, dann berechnet sich der Kopfschaden im Alter x zur Zeit t zu Kx(t):= E(si(t)).

Da für die Finanzierbarkeit des Gesundheitssystems die gesamten Kosten, die durch eine höhere Lebenserwartung auftreten, entscheidend sind, ist somit auch zwischen dem Gesundheitszustand der Bevölkerung in den einzelnen Altersklassen und der monetären Inanspruchnahme des Gesundheitssystems zu unterscheiden. Aus diesem Grund macht es auch Sinn, die Kopfschadenreihen multiplikativ in eine Funktion aufzuspalten, welche zum einen die Altersabhängigkeit vom Kopfschaden anzeigt (das sogenannte Profil) und zum anderen in eine Funktion, welche das Leistungsniveau des jeweiligen Tarifs angibt (der sogenannte Grundkopfschaden). Wie das funktionieren soll, ist im Anhang aufgeführt. Mit diesem Modell lassen sich nun in Abhängigkeit von dem Alter die zu erwartenden Ansprüche berechnen. Dies bietet für die Versicherungen die Möglichkeit je nach Struktur ihrer Versicherten die zukünftigen Kosten abzuschätzen und sich entsprechend auf dem Terminkontraktmarkt zu positionieren.